Matematička indukcija: Pojmovi o materijalima, primjeri pitanja i rasprava

matematička indukcija

Matematička indukcija deduktivna je metoda koja se koristi za dokazivanje istinitih ili lažnih tvrdnji.

Sigurno ste učili matematiku u srednjoj školi. Kao što znamo, matematička indukcija je proširenje matematičke logike.

U svojoj primjeni matematička logika koristi se za proučavanje neistinitih ili istinitih tvrdnji, ekvivalentnih ili negativnih i izvođenje zaključaka.

Osnovni koncepti

Matematička indukcija deduktivna je metoda kojom se dokazuju istinite ili lažne tvrdnje.

U tom procesu donose se zaključci na temelju valjanosti općeprihvaćenih izjava, tako da određene izjave također mogu biti istinite. Uz to, varijabla u matematičkoj indukciji također se smatra članom prirodnog skupa brojeva.

U osnovi su tri koraka u matematičkoj indukciji kako bi se dokazalo mogu li formula ili tvrdnja istiniti ili obrnuto.

Ti su koraci:

  • Dokazati da je tvrdnja ili formula istinita za n = 1.
  • Pretpostavimo da je tvrdnja ili formula istinita za n = k.
  • Dokazati da je tvrdnja ili formula istinita za n = k + 1.

Iz gornjih koraka možemo pretpostaviti da izjava mora biti provjerljiva za n = k i n = k + 1.

matematička indukcija

Vrste matematičke indukcije

Postoje razne vrste matematičkih problema koji se mogu riješiti matematičkom indukcijom. Stoga se matematička indukcija može podijeliti u tri vrste, i to na niz, podjelu i nejednakost.

1. Serija

U ovoj vrsti serija obično se matematički indukcijski problem nalazi u obliku uzastopnog zbrajanja.

Dakle, u serijskom problemu istina se mora dokazati u prvom članu, k-članu i th-članu (k + 1).

2. Divizija

Vrste indukcije matematičke podjele mogu se naći u različitim problemima koji koriste sljedeće rečenice:

  • a je djeljivo sa b
  • b faktor a
  • b dijeli a
  • a višekratnik b

Te četiri značajke ukazuju na to da se tvrdnja može riješiti pomoću matematičke indukcije tipa podjele.

Treba zapamtiti da je ako je broj a djeljiv sa b onda je a = bm gdje je m cijeli broj.

3. Nejednakost

Vrsta nejednakosti označena je znakom većim ili manjim od onog u izjavi.

Postoje svojstva koja se često koriste u rješavanju vrsta nejednakosti matematičke indukcije. Te su karakteristike:

  • a> b> c ⇒ a> c ili a <b <c ⇒ a <c
  • a 0 ⇒ ac <bc ili a> b i c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c ili a> b ⇒ a + c> b + c
Također pročitajte: Razlika između kvadrata i pravokutnika [CIJELI OPIS]

Primjer matematičkih indukcijskih problema

Slijedi primjer problema kako biste mogli bolje razumjeti kako riješiti dokaz formule pomoću matematičke indukcije.

Red

Primjer 1

Dokazati 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), za svakih n prirodnih brojeva.

Odgovor:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Dokazat će se da je n = (n) vrijedi za svaki n ∈ N

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (1) točno

2 = 1 (1 + 1)

Dakle, P (1) je točan

Drugi korak :

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj.

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Treći korak

Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Iz pretpostavki:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Dodajte obje strane s u k + 1 :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Dakle, n = (k + 1) je točno

Primjer 2

Upotrijebite matematičku indukciju za dokazivanje jednadžbi

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 za sve cijele brojeve n ≥ 1.

Odgovor:

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (1) točno

S1 = 1 = 12

Drugi korak

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Treći korak

Dokazati da je n = (k + 1) istina

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

sjetimo se da je 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

zatim

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

tada se dokazuje gornja jednadžba

Primjer 3

Dokazati da je 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 točno za svaki n prirodni broj

Odgovor:

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (1) točno

1 = 12

Dakle, P (1) je točan

Drugi korak :

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Treći korak:

Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Iz pretpostavki:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Dodajte obje strane s u k + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Dakle, n = (k + 1) je također istina

Podjela

Primjer 4

Dokazati da je n3 + 2n djeljivo sa 3, za svakih n prirodnih brojeva

Odgovor:

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (1) točno

13 + 2,1 = 3 = 3,1

Dakle, n = (1) je točno

Također pročitajte: Razumijevanje i obilježja komunističke ideologije + primjeri

Drugi korak :

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Treći korak:

Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Budući da je m cijeli broj, a k prirodni broj, (m + k2 + k + 1) je cijeli broj.

Pretpostavimo da je p = (m + k2 + k + 1), onda

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, gdje je p ∈ ZZ

Dakle, n = (k + 1) je točno

Nejednakost

Primjer 5

Dokazati da vrijedi za svaki prirodni broj n ≥ 2

3n> 1 + 2n

Odgovor:

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (2) točno

32 = 9> 1 + 2,2 = 5

Dakle, P (1) je točan

Drugi korak :

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Treći korak:

Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (jer 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (jer 6k> 2k)

3k + 1 = 1 + 2k + 2

3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Dakle, n = (k + 1) je također istina

Primjer 6

Dokazati da vrijedi za svaki prirodni broj n ≥ 4

(n + 1)! > 3n

Odgovor:

Prvi korak :

Pokazat će se da je n = (4) točno

(4 + 1)! > 34

lijeva strana: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

desna strana: 34 = 81

Dakle, n = (4) je točno

Drugi korak :

Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Treći korak:

Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (jer (k + 1)!> 3k)

(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (jer je k + 2> 3)

(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Dakle, n = (k + 1) je također istina