Matematička indukcija deduktivna je metoda koja se koristi za dokazivanje istinitih ili lažnih tvrdnji.
Sigurno ste učili matematiku u srednjoj školi. Kao što znamo, matematička indukcija je proširenje matematičke logike.
U svojoj primjeni matematička logika koristi se za proučavanje neistinitih ili istinitih tvrdnji, ekvivalentnih ili negativnih i izvođenje zaključaka.
Osnovni koncepti
Matematička indukcija deduktivna je metoda kojom se dokazuju istinite ili lažne tvrdnje.
U tom procesu donose se zaključci na temelju valjanosti općeprihvaćenih izjava, tako da određene izjave također mogu biti istinite. Uz to, varijabla u matematičkoj indukciji također se smatra članom prirodnog skupa brojeva.
U osnovi su tri koraka u matematičkoj indukciji kako bi se dokazalo mogu li formula ili tvrdnja istiniti ili obrnuto.
Ti su koraci:
- Dokazati da je tvrdnja ili formula istinita za n = 1.
- Pretpostavimo da je tvrdnja ili formula istinita za n = k.
- Dokazati da je tvrdnja ili formula istinita za n = k + 1.
Iz gornjih koraka možemo pretpostaviti da izjava mora biti provjerljiva za n = k i n = k + 1.
Vrste matematičke indukcije
Postoje razne vrste matematičkih problema koji se mogu riješiti matematičkom indukcijom. Stoga se matematička indukcija može podijeliti u tri vrste, i to na niz, podjelu i nejednakost.
1. Serija
U ovoj vrsti serija obično se matematički indukcijski problem nalazi u obliku uzastopnog zbrajanja.
Dakle, u serijskom problemu istina se mora dokazati u prvom članu, k-članu i th-članu (k + 1).
2. Divizija
Vrste indukcije matematičke podjele mogu se naći u različitim problemima koji koriste sljedeće rečenice:
- a je djeljivo sa b
- b faktor a
- b dijeli a
- a višekratnik b
Te četiri značajke ukazuju na to da se tvrdnja može riješiti pomoću matematičke indukcije tipa podjele.
Treba zapamtiti da je ako je broj a djeljiv sa b onda je a = bm gdje je m cijeli broj.
3. Nejednakost
Vrsta nejednakosti označena je znakom većim ili manjim od onog u izjavi.
Postoje svojstva koja se često koriste u rješavanju vrsta nejednakosti matematičke indukcije. Te su karakteristike:
- a> b> c ⇒ a> c ili a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc ili a> b i c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c ili a> b ⇒ a + c> b + c
Primjer matematičkih indukcijskih problema
Slijedi primjer problema kako biste mogli bolje razumjeti kako riješiti dokaz formule pomoću matematičke indukcije.
Red
Primjer 1
Dokazati 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), za svakih n prirodnih brojeva.
Odgovor:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Dokazat će se da je n = (n) vrijedi za svaki n ∈ N
Prvi korak :
Pokazat će se da je n = (1) točno
2 = 1 (1 + 1)
Dakle, P (1) je točan
Drugi korak :
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Treći korak
Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Iz pretpostavki:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Dodajte obje strane s u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Dakle, n = (k + 1) je točno
Primjer 2
Upotrijebite matematičku indukciju za dokazivanje jednadžbi
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 za sve cijele brojeve n ≥ 1.
Odgovor:
Prvi korak :Pokazat će se da je n = (1) točno
S1 = 1 = 12
Drugi korak
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Treći korak
Dokazati da je n = (k + 1) istina
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
sjetimo se da je 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
zatim
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
tada se dokazuje gornja jednadžba
Primjer 3
Dokazati da je 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 točno za svaki n prirodni broj
Odgovor:
Prvi korak :
Pokazat će se da je n = (1) točno
1 = 12
Dakle, P (1) je točan
Drugi korak :
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Treći korak:
Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Iz pretpostavki:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Dodajte obje strane s u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Dakle, n = (k + 1) je također istina
Podjela
Primjer 4
Dokazati da je n3 + 2n djeljivo sa 3, za svakih n prirodnih brojeva
Odgovor:
Prvi korak :
Pokazat će se da je n = (1) točno
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Dakle, n = (1) je točno
Također pročitajte: Razumijevanje i obilježja komunističke ideologije + primjeriDrugi korak :
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Treći korak:
Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Budući da je m cijeli broj, a k prirodni broj, (m + k2 + k + 1) je cijeli broj.
Pretpostavimo da je p = (m + k2 + k + 1), onda
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, gdje je p ∈ ZZ
Dakle, n = (k + 1) je točno
Nejednakost
Primjer 5
Dokazati da vrijedi za svaki prirodni broj n ≥ 2
3n> 1 + 2n
Odgovor:
Prvi korak :
Pokazat će se da je n = (2) točno
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Dakle, P (1) je točan
Drugi korak :
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Treći korak:
Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (jer 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (jer 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Dakle, n = (k + 1) je također istina
Primjer 6
Dokazati da vrijedi za svaki prirodni broj n ≥ 4
(n + 1)! > 3n
Odgovor:
Prvi korak :
Pokazat će se da je n = (4) točno
(4 + 1)! > 34
lijeva strana: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
desna strana: 34 = 81
Dakle, n = (4) je točno
Drugi korak :
Pretpostavimo da je n = (k) istina, tj
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Treći korak:
Pokazat će se da je n = (k + 1) također istina, tj
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (jer (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (jer je k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Dakle, n = (k + 1) je također istina
