Kvadratne jednadžbe (PUNO): Definicija, formule, primjeri zadataka

kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba jedna je od matematičkih jednadžbi varijable koja ima najveću snagu od dvije.

Opći oblik kvadratne jednadžbe ili PK je kako slijedi:

sjekira 2 + bx + c = 0

gdje je x varijabla, a , b koeficijent, a c konstanta. Vrijednost a nije jednaka nuli.

Grafički oblici

Ako je kvadratna jednadžba opisana u terminima kartezijanskih koordinata (x, y), ona će oblikovati parabolički graf. Stoga se kvadratne jednadžbe također često nazivaju paraboličkim jednadžbama .

Slijedi primjer oblika ove jednadžbe u obliku paraboličkog grafa.

graf kvadratnih jednadžbi

U općoj jednadžbi vrijednosti a , b i c uvelike utječu na rezultirajući parabolički uzorak.

Vrijednost a određuje konkavnu ili konveksnu krivulju parabole. Ako je vrijednost a> 0, tada će se parabola otvoriti (udubljena) . Suprotno tome, ako je a <0 , tada će se parabola otvoriti prema dolje (konveksno) .

Vrijednost b u jednadžbi određuje vrh parabole . Drugim riječima, odredite vrijednost osi simetrije krivulje koja je jednaka x = - b / 2a .

Konstantna vrijednost c na grafikonu jednadžbe određuje točku presjeka funkcije parabole na osi y . Slijedi parabolični graf s promjenama konstantne vrijednosti c .

Korijeni kvadratne jednadžbe (PK)

Rješenje kvadratne jednadžbe naziva se kar-korijen kvadratne jednadžbe .

Razni PK korijeni

Vrste korijena PK mogu se lako pronaći pomoću opće formule D = b2 - 4ac iz opće jednadžbe za kvadratnu os2 + bx + c = 0.

Slijede vrste korijena kvadratnih jednadžbi.

1. Pravi korijen (D> 0)

Ako je vrijednost D> 0 iz PK, stvorit će se stvarni korijeni jednadžbe, ali s različitim korijenima. Drugim riječima, x1 nije isto što i x2.

Primjer jednadžbe stvarnog korijena (D> 0)

Pronađite korijensku vrstu jednadžbe x2 + 4x + 2 = 0.

Naselje:

a = 1; b = 4; i c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Dakle, budući da je vrijednost D> 0, korijen je stvarnog korijenskog tipa.

2. Stvarni korijen jednak je x1 = x2 (D = 0)

Je vrsta korijena kvadratne jednadžbe koja daje korijene iste vrijednosti (x1 = x2).

Primjer stvarnih korijena (D = 0)

Pronađite vrijednost PK korijena 2x2 + 4x + 2 = 0.

Također pročitajte: Vrste ciklusa vode (+ puna slika i objašnjenje)

Naselje:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

Dakle, jer je vrijednost D = 0, dokazano je da su korijeni stvarni i dvostruki.

3. Zamišljeni korijeni / nisu stvarni (D <0)

Ako je vrijednost D <0, tada će korijen kvadratne jednadžbe biti zamišljen / ne stvaran.

Primjer zamišljenih korijena (D <0) /

Pronađite korijensku vrstu jednadžbe x2 + 2x + 4 = 0.

Naselje:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

Dakle, budući da je vrijednost D <0, korijen jednadžbe je nestvaran ili zamišljen korijen.

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

Postoji nekoliko metoda kojima se mogu pronaći korijeni kvadratne jednadžbe. Među njima su faktorizacija, savršeni kvadrati i upotreba formule abc.

Slijedi opis nekoliko metoda za pronalaženje korijena jednadžbe.

1. Faktorizacija

Faktorizacija / faktoring metoda je pronalaženja korijena tražeći vrijednost koja će, ako se pomnoži, proizvesti drugu vrijednost.

Postoje tri oblika kvadratnih jednadžbi (PK) s različitim faktoriziranjem korijena, i to:

Ne. Oblik jednadžbe Factorization korijena-korijena
1 x 2 + 2xy + y 2 = 0 (x + y) 2 = 0
2 x 2 - 2xy + y 2 = 0 (x - y) 2 = 0
3 x 2 - y 2 = 0 (x + y) (x - y) = 0

Slijedi primjer problema korištenja metode faktorizacije u kvadratnim jednadžbama.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5x 2 + 13x + 6 = 0 metodom faktorizacije.

Naselje:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 ili x = -2

Dakle, rješenje je x = -3/5 ili x = -2

2. Savršeni kvadrati

Oblik savršenog kvadrata oblik je kvadratne jednadžbe koja daje racionalni broj .

Rezultati savršene kvadratne jednadžbe obično koriste sljedeću formulu:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Opće rješenje savršene kvadratne jednadžbe je kako slijedi:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

s (x + p) 2 = q, tada:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Slijedi primjer problema korištenja metode savršene jednadžbe.

Riješite jednadžbu x2 + 6x + 5 = 0 pomoću savršene metode kvadratne jednadžbe!

Naselje:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Sljedeći je korak dodavanje jednog broja na desnoj i lijevoj strani kako bi se mogao promijeniti u savršeni kvadrat.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Dakle, konačni rezultat je x = -1 ili x = -5

Također pročitajte: Definicija i razlika homonima, homofona i homograma

3. ABC kvadratne formule

Formula abc alternativni je izbor kada se kvadratna jednadžba ne može riješiti faktorizacijom ili savršenim kvadratnim metodama.

Slijedi abc formula za kvadratnu jednadžbu ax2 + bx + c = 0.

korijeni kvadratne jednadžbe

Slijedi primjer rješavanja problema kvadratne jednadžbe pomoću abc formule .

Riješite jednadžbu x2 + 4x - 12 = 0 metodom formule abc!

Naselje:

x2 + 4x - 12 = 0

gdje je a = 1, b = 4, c = -12

Konstruiranje nove kvadratne jednadžbe

Ako smo prethodno naučili kako pronaći korijene jednadžbe, sada ćemo naučiti sastaviti kvadratnu jednadžbu iz prethodno poznatih korijena.

Evo nekoliko načina na koje možete izgraditi novi PK.

1. Konstruirajte jednadžbe kad su korijeni poznati

Ako jednadžba ima korijene x1 i x2, tada se jednadžba za te korijene može izraziti u

(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0

Primjer:

Nađite kvadratnu jednadžbu u kojoj su korijeni između -2 i 3.

Naselje:

x 1 = -2 i x 2 = 3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Dakle, rezultat jednadžbe za ove korijene je x2-x-6 = 0

2. Sastavite kvadratnu jednadžbu ako znate broj i umnožak korijena

Ako su poznati korijeni kvadratne jednadžbe s brojem i vremenima x1 i x2, kvadratna se jednadžba može pretvoriti u sljedeći oblik.

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

Primjer:

Naći kvadratnu jednadžbu s korijenima 3 i 1/2.

Naselje:

x 1 = 3 i x 2 = -1/2

x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2

x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2

Dakle, kvadratna jednadžba je:

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (svaka se stranica pomnoži s 2)

2x2-5x-3 = 0

Dakle, kvadratna jednadžba za korijene 3 i 1/2 je 2x2-5x-3 = 0.