Apsolutna vrijednost u računu vrlo je korisna za rješavanje različitih matematičkih problema, kako u jednadžbama tako i u nejednakostima. Slijedi cjelovito objašnjenje apsolutnih vrijednosti i uzorci pitanja.
Definicija apsolutne vrijednosti
Svi brojevi imaju svoje apsolutne vrijednosti. Svi su apsolutni brojevi pozitivni, pa će apsolutne brojevne vrijednosti brojeva s istim brojem, ali razlika između pozitivnih (+) i negativnih (-) notacija, imati isti apsolutni broj.
Ako je x član stvarnog broja, tada se apsolutna vrijednost zapisuje kao | x | i definira se na sljedeći način:
"Apsolutna vrijednost je broj iste vrijednosti duljine ili udaljenosti od ishodišta ili nulte točke u koordinatama."
Može se protumačiti da je apsolutna vrijednost 5 duljina ili udaljenost od točke 0 do točke 5 ili (-5).
Apsolutne vrijednosti (-9) i 9 su 9. Apsolutna vrijednost 0 je 0, i tako dalje. Nilaa
Apsolutno ću to razumjeti gledajući sljedeću sliku:
Na gornjoj slici može se razumjeti da vrijednost | 5 | je udaljenost točke 5 od broja 0, naime 5, i | -5 | udaljenost točke (-5) od broja 0 je 5.
Ako je | x | označava udaljenost od točke x do 0, tada | xa | je udaljenost od točke x do točke a. Na primjer, kada se izražava udaljenost od točke 5 do točke 2, to bi se moglo zapisati kao | 5-2 | = 3
Općenito se može reći da se udaljenost x do a može zapisati oznakom | xa | ili | sjekira |
Na primjer, udaljenost broja do točke 3 vrijedi 7 kako slijedi:
Ako je opisano u algebarskoj jednadžbi | x-3 | = 7, to se može riješiti na sljedeći način:
Pročitajte i: Mjerenje potresa logaritmima
Zapamtite, taj | x-3 | je udaljenost broja x do točke 3, gdje je | x-3 | = 7 udaljenost broja x do točke 3 za 7 jedinica.
Svojstva apsolutne vrijednosti
U operacijama jednadžbe apsolutnog broja postoje svojstva apsolutnog broja koja mogu pomoći u rješavanju jednadžbi apsolutnog broja.
Slijede svojstva apsolutnih brojeva općenito u jednadžbama apsolutne vrijednosti:
Svojstva apsolutne vrijednosti nejednakosti:
Primjeri problema jednadžbe apsolutne vrijednosti
Primjer problema 1
Kolika je apsolutna vrijednost jednadžbe | 10-3 |?
Odgovor:
| 10-3 | = | 7 | = 7
Primjer problema 2
Koji je rezultat x za jednadžbu za apsolutnu vrijednost | x-6 | = 10?
Odgovor:
Da bi se riješila ova jednadžba, moguća su dva rezultata za apsolutne brojeve
| x-6 | = 10
Prvo rješenje:
x-6 = 10
x = 16
drugo rješenje:
x - 6 = -10
x = -4
Dakle, odgovor na ovu jednadžbu je 16 ili (-4)
Primjer problema 3
Riješite i izračunajte x vrijednost u sljedećoj jednadžbi
–3 | x - 7 | + 2 = –13
Odgovor:
–3 | x - 7 | + 2 = –13
–3 | x - 7 | = –13 - 2
–3 | x - 7 | = –15
| x - 7 | = –15 / –3
| x - 7 | = 5
Gotovo do gornjeg rješenja, tada vrijednost x ima dvije vrijednosti
x - 7 = 5
x = 12
ili
x - 7 = - 5
x = 2
pa je konačna vrijednost x 12 ili 2
Primjer problema 4
Riješi sljedeću jednadžbu i kolika je vrijednost x
| 7 - 2x | - 11 = 14
Odgovor:
| 7 - 2x | - 11 = 14
| 7 - 2x | = 14 + 11
| 7 - 2x | = 25
Nakon dovršenja gornje jednadžbe, brojevi za apsolutnu vrijednost x sljedeći su
7 - 2x = 25
2x = - 18
x = - 9
ili
7 - 2x = - 25
2x = 32
x = 16
Dakle, konačna vrijednost x je (- 9) ili 16
Primjer problema 5
Pronađite rješenje sljedeće jednadžbe apsolutne vrijednosti:
| 4x - 2 | = | x + 7 |
Odgovor:
Da biste riješili gornju jednadžbu, upotrijebite dva moguća rješenja, i to:
Također pročitajte: Pogreške u čitanju rezultata statistike ankete o izborima kandidata4x - 2 = x + 7
x = 3
ili
4x - 2 = - (x + 7)
x = - 1
Dakle, rješenje za jednadžbu | 4x - 2 | = | x + 7 | je x = 3 ili x = - 1
Primjer problema 6
Odredite rješenje sljedeće jednadžbe apsolutne vrijednosti:
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | - 2 = 0
Kolika je vrijednost x?
Odgovor:
Pojednostavljenje: | 3x + 2 | = str
zatim
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | -2 = 0
p² + p - 2 = 0
(p + 2) (p - 1) = 0
p + 2 = 0
p = - 2 (apsolutna vrijednost nije negativna)
ili
p - 1 = 0
p = 1
| 3x + 2 | = 1
Do gornjeg rješenja, postoje 2 moguća odgovora za x, naime:
3x + 2 = 1
3x = 1 - 2
3x = - 1
x = - 1/3
ili
- (3x + 2) = 1
3x + 2 = - 1
3x = - 1 - 2
3x = - 3
x = - 1
Dakle, rješenje jednadžbe je x = - 1/3 ili x = - 1
Referenca: Apsolutna vrijednost - matematika je zabavna
